第8章  貨幣的時間價值

一、 終值〈Future Value, FV〉:

假設利率為k,則C元的終值FV:

因為:

經過1期,C元的終值為

經過2期,C元的終值為

經過n期,C元的終值為

所以:

  PV為現值

 

    為目前的貨幣價值〈現值〉,表示k為複利利率,在n(n)後的終值。

   〈例〉某銀行推出了兩種不同的存款商品,其中一種的利率為4%,每年計息一次;另一種的利率則為3.8%,但每半年計息一次。若有10萬元想存入銀行2年,應選擇哪一種存款商品?

      所以應選擇利率為4%,每年計息一次的存款商品。

  老王在銀行存50,000元,利率為6%,每年複利1次,5年後變成多少錢?

Ans : ∵(1+0.06)5 = 1.338225578

   

 

EXCEL處理:

1. 點選輸出格→插入→函數→視窗上選擇【財務】【FV】→按確定。

2. 視窗上,Rate填利率0.06,Nper填期數5,PV填期初金額50000

 

 

二、 現值〈Present Value, PV〉:

假設每一段期間的利率固定為k,則C元的現值為PV。

因為:

經過1期,C元的值為

經過2期,C元的值為

經過n期,C元的值為

所以:

   FV為終值

 

        老王正計劃幫他的小孫子存一筆教育基金,希望在15年後能夠累積到100 萬元;若目前銀行的定期存款利率為3%,請問他現在必須準備多少現金存入銀 行,15年後才能領取100萬元出來?

Ans : 老王現在要準備的現金額度可利用現值公式計算:

 

  張小姐希望兩年後能有500,000元,在銀行年利率6.5%定存下,張小姐現在應該存入多少錢?

Ans : ∵ 

  ∴ 張小姐現在要存440,829元在銀行

 

EXCEL處理:

1. 點選輸出格→插入→函數→視窗上選擇【財務】【PV】→按確定。

2. 視窗上,Rate填利率0.065,Nper填期數2,FV填期初金額50000

 

 

三、  年金終值:

  年金依收付的時點不同,可分為普通年金〈Ordinary Annuity〉與期初年金〈Annuity Due〉。前者是指現金收付的時點為每期的期末;後者則指現金收付的時點為每期的期初。

3-1.  普通年金終值 (期末年金終值)

FVA表年金終值,PMT表年金每期的『支付額 (Payment)』,i表複利利率,n表年金期數。

 

  王小姐為了能夠在5年後購置汽車,每年年底時會將10萬元轉為定存,以作為購車基金。假設定存利率為6%,請問5年後王小姐的購車基金有多少錢?

Ans: 公式解

查表解

 

EXCEL處理:

1. 點選輸出格→插入→函數→視窗上選擇【財務】【FV】→按確定。

2. 視窗上,Rate填利率0.06,Nper填期數5,FV填期初金額100000

 

 

〈例〉假設老王在5年內每年底均有1的收入,折現率為10%

 

 

 

〈例〉每年存入6萬元的現金。請問他這15年來所存入的現金,若以現在的時點來衡量,共值多少
    〈假設折現率同樣是
3%〉?

 

3-2.  期初年金終值

 

  小明5歲至15歲這10年的時間,小明每年年初的壓歲錢5,000都交由父母存入銀行的定存戶頭內,在銀行定存利息為7%之下,請問這10年後小明的戶頭內有多少錢?

Ans:

EXCEL處理:

1. 點選輸出格→插入→函數→視窗上選擇【財務】【FV】→按確定。

2. 視窗上,Rate填利率0.07,Nper填期數10,FV填期初金額5000

 

 

四、 年金現值

4-1.  普通年金現值

PVAn 表普通年金現值,PMT表年金每期支付額,i 表複利利率,n 表年金的期數。

 

  有一種證券從第1年年底開始,每年年底支付500元,連續支付15年,假設和這種證券風險相同的證券目前的利率為7%,請問此證券發行時合理價格應該是多少? (PVIFA7%,15=9.1079)

Ans: 將此證券每期的支付額用合理的折現率(7%)折現,就可以得到此證券合理的價格。

   證券價格 = 500(PVIFA7%,15)=500(9.1079) = 4,553.95

 

4-2.  期初年金現值

期初年金現值只要將普通年金現值再多複利一期即可。

 

  有一項投資方案為5年期,年複利率為7.5%,每年皆可收到50,000元,則該選擇年初收錢還是年底收錢其現值較高?

Ans: 年底收錢:

   年初收錢:期初收錢的現金流量每期都比普通年金少折現1期,所以

202,300(1+7.5%) = 217,472.5

 

EXCEL處理:

1. 點選輸出格→插入→函數→視窗上選擇【財務】【PV】→按確定。

2. 視窗上,Rate填0.075,Nper填5,PMT填50000,Type填0

3. 視窗上,Rate填0.075,Nper填5,PMT填50000,Type填1

 

五、 永續年金現值

  如果年金的期數為無限多期,則此種年金成為「永續年金 (Perpetuity)」。永續年金現值是年金的每期支付額除以每期利率,公式如下:

 

  假設有一個投資每年支付您 10,000元永不停止,在折現率為5%的情況下,您願意支付多少錢來購買這個投資?

Ans:

 

  若折現率為8%,每年支付1,000的永續年金現值為多少?若折現率上升到 16%(加倍),則永續年金的現值將有何改變?

Ans:  折現率 8%時永續年金現值 = 1,000 / 8% = 12,500

   折現率 16%時永續年金現值 = 1,000 / 16% = 6,250

   折現率加倍,永續年金現值將變為原來的一半。